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[2013.05.04]悼~地图数学家肯尼斯·阿佩尔

2013-5-30 08:26| 发布者: migmig| 查看: 93895| 评论: 16|原作者: fsz

摘要: 肯尼斯·阿佩尔,研究地图的数学家,于2013年4月19日去世,终年80岁
肯尼斯·阿佩尔

肯尼斯·阿佩尔,研究地图的数学家,于2013年4月19日去世,终年80岁

May 4th 2013 |From the print edition



仅就人们心目中的数学家形象而言,它已经好久没有改变了。那是在沙滩上用图例向人们演示直角三角形定理(直角三角形斜边的平方等于两直角边平方之和)的毕达哥拉斯;或是以傲然的出世态度在剑桥书斋中证明万有引力定律(引力的平方反比定律决定了行星的椭圆形运行轨道)的牛顿。他们是单纯凭借智力去发现普遍的和永恒的真理,然后再把真理用数学等式表达出来的人。在他们的眼中,数学等式就是用数字写就的诗篇,这种诗篇力感十足、结构讲究,容不得一丝杂质。

率先打破这种形象的人是肯尼斯·阿佩尔和他的“犯罪同伙”沃尔夫冈·哈肯——没错,这正是大多数数学家对于他们的认识——两人是在计算机的帮助下完成了这次犯罪的:1976年,在伊利诺伊大学教授数学的他们,为了证明一个特殊猜想,将部分工作交给了一台IBM370-168型计算机。1200个小时后,猜想得到证明。在此过程中,这头庞然怪物进行了10万亿次逻辑运算,任凭他们去“蹂躏”那些单凭人类力量根本无法征服的数字。凭着将计算机引入数学领域这一点,阿佩尔和他的搭档改变了数学的性质。如今,这门纯粹的理论科学不仅变成了一门实证科学,而且还成为实验的奴隶。既然机器正在计算出不必需要人类智力去验证的结果 ,那么数学证明也必然变得更加难以确定。这正如一位对此不知所措的教授所说:“狼就在我们之中。”

阿佩尔博士证明的猜想同地图有关。1852年,一位名叫弗郎西斯·古斯里的数学学生萌生了一个离奇的念头:不管一幅地图有多么复杂,到底需要多少种颜色才能确保不存在相邻国家是同种颜色的可能?古里斯认为,答案是4种颜色,但这只是一种猜测而已。不仅他无法用数学方法去证明自己的猜测,而且在他之后的几十年中,别人也没能做到这一点。这项工作要求证明者既要不停地提出适用该条件的新的搭配方法,同时还要证明四色猜想是正确的。一个多世纪以来,数学家们为此绞尽了脑汁。

到1925年时,人们已经能够证明,四色原理适用于有22个国家的地图;到1968年时,这个数字又增加到了40个国家。至此,证明变得越来越繁琐,使得进展都停留在表面。即便是曾经解决了扭结难题的哈肯博士也在1972年宣布放弃。(所谓“扭结难题”就是为怎样解开一盘打了结的绳子找到一种算法,哈肯博士为此花费了三年的时间。)但就是在这个时候,阿佩尔博士开始着手解决四色猜想。计算机真得能完成这项工作吗?

借助于计算机证明数学难题,这个想法本身就具有轰动效应,但阿佩尔博士始终都坚信计算机能够完成这个任务。他曾为麦道公司编写过大型的计算机程序,也曾在政府下属的国防分析研究所干过密码分析工作。对他来说,计算机就是工作中的搭档。当他开始同IBM 370-168型计算机一起工作时,它那种发现“不是那么显而易见的事物”的能力令他惊讶不已。它能“以任何想得到的方式来运用它所具备的海量知识。当数学家说‘不,不,不……你必须那样去做’时,计算机正在那样工作着。”他说,由于计算机在思考问题时“不像一个数学家”,因此成功的几率更大。

即便有了计算机那种耐心而且不知疲倦的帮助(同时还得加上由学生约翰·科赫编写的那个“相当给力”的程序),证明四色猜想仍旧是一项巨大的体力劳动。开始时,阿佩尔博士也像古里斯那样凭直觉认为,这个猜想是正确的。但是,证明这个猜想就如同身处“茂密森林中”的一位猎手:“你心里十分清楚,如果你向任何方向开上一枪,最终肯定会打中一棵树……但是,如果你没有掌握足够的信息,无法确认那个方向上有一棵树的话,情况就不一样了。”

由于这台计算机由学校行政部门管理,因此,阿佩尔博士和哈肯博士花在它上面的时间,大大超出了他们当初的预想。最后,他们终于计算出一套“不可避免”,四色原理可以适用于包含1936个不同国家的地图。为此,他们先是发动家属成员进行人工验算,然后再利用那台超强计算能力的计算机对结果进行验证。当他们将最终结果在《伊利诺伊数学杂志》上公布出来时,一共占用了140多页纸,以及400多个纪录在微缩胶片上的图形。同时,他们还以老掉牙的方式,在数学系黑板上用粉笔写道:“四色足矣”。

亚里士多德 v 伽利略

他们这种不依靠人力的证明是否充分暂且不论。由于这种做法打破了数学界的“规矩”,两人遭到了众多怒不可遏的数学家的攻击。对此,阿佩尔博士一笑了之。他说,他的工作和一生的所爱,就是鼓励年轻人不使用计算机解决问题。如果理论能够在实际应用中得到证明,科学不仅不会因此而受损,反而会从中有所受益。如果不是伽利略最终通过实验证明了亚里士多德的自由落体定理,该定理中的错误毕竟还会一直存在下去。

阿佩尔博士承认,他的证明并非完美无缺,也没能给其他领域带来新的数学发现,就连绘制地图的人也认为它没有什么实际效用。但是,在把计算机当做搭档和工具方面,四色理论的证明是一个突破。有了计算机的帮助,原理得到了“完美的兼容”。对于阿佩尔博士来说,他肯定也会像毕达哥拉斯和牛顿那样,对这种“完美的充分性”感到惊喜不已。
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最新评论

引用 bslrim 2013-5-30 21:32
直角三角形定理--〉勾股定理/毕氏定理

证明万有引力定律(引力的平方反比定律决定了行星的椭圆形运行轨道)的牛顿---〉证明了星星的椭圆型轨道是由引力平方的反比(万有引力定律)所决定的牛顿。
引用 yannanchen 2013-5-31 06:10
allowing them to crunch numbers they knew were humanly unfeasible.

这个结构似乎有问题。
=allowing them to crunch numbers which they knew were humanly unfeasible.
=allowing them to crunch numbers which, they knew, were humanly unfeasible.

这个which = numbers, 所以是复数, 所以 有 which were , 而they knew 形同 插入语, 可以省略。

=allowing them to crunch numbers which were humanly unfeasible.

分析至此, 出了问题。 numbers were humanly unfeasible  没有意义。
crunching  (or to crunch  ) (such large ) numbers is humanly unfeasible 才有意义。

crunch 这里的意思是 作 运算。
引用 yannanchen 2013-5-31 23:54
yannanchen 发表于 2013-5-31 06:10
allowing them to crunch numbers they knew were humanly unfeasible.

这个结构似乎有问题。

如果这样理解倒是可以的

allowing them to crunch huge numbers they knew were humanly unfeasible.

允许他们进行巨大数量的计算, 他们知道如果光靠人工绝无可能。
引用 yannanchen 2013-6-1 00:04
比较
1.        THE image of the mathematician, in so far as people have one, has not changed for quite a while
2.        THE image of the mathematician, in so far as people are aware, has not changed for quite a while
这两句有何区别?
1.        句极言数学家在人们心目中几乎没有留下什么印象。 如果有的话,也不可能有众多不同的形象, 顶多顶多,有一个而已。
2.        句没有这层含义。 可以把数学家置换以别的职业,比如医生,法官。

引用 yannanchen 2013-6-1 00:16
Mathematical proof, too, became more uncertain, now that machines were producing reams of results that human intellects could not necessarily see or verify. As one appalled professor declared, “The wolves are in our midst.”既然机器正在计算出不必需要人类智力去验证的结果 ,那么数学证明也必然变得更加难以确定。这正如一位对此不知所措的教授所说:“狼就在我们之中。”

Reams of results 海量的结果
could not necessarily see or verify 未必能洞悉或验证。
引用 yannanchen 2013-6-1 00:20

A purely theoretical science now became also empirical and subject to experiment.如今,这门纯粹的理论科学不仅变成了一门实证科学,而且还成为实验的奴隶。
而且还成为实验的奴隶???? 太过太过!!!
受制于试验, 听从试验结果的摆布, 由试验的结果决定。
引用 yannanchen 2013-6-1 00:31
It was a matter of constantly creating new configurations
Configuration 构形。




计算机的辅助 [编辑]
人工寻找不可避免构形集和验证构形可约性过于缓慢,数学家开始考虑使用当时新出现的计算机作为辅助,以提高验证的效率。构造出放电法的同时,借助于计算机来验证构形可约性的工作也飞速进展。希尔在Karl Dürre的帮助下在1965年设计了第一个算法来验证构形的可约性。他们使用的是Algol 60语言,在德国汉诺威技术学院计算机中心的一台CDC 1504A电脑上首次运行。1967年前,由于内存不足,只能验证12-环以下的构形[2]:27。而希尔找出的不可避免集含有的大构形可以达到14-环甚至更多,计算机的能力并不足以快速完成可约性的验证[16]。
当时美国的计算机技术领先于欧洲,因此希尔希望能够借助美国的大型计算机来证明四色定理。1967年,美国纽约布鲁克海文国家实验室(BNL)应用数学院院长邀请希尔来美国访问,并允许他使用当时世界上最快的计算机CDC 6600。其后几年,希尔两度到美国寻求大型计算机的使用机会。这段时间中,Dürre将程序用FORTRAN进行了重写。抱着在德国最终解决四色问题的希望,希尔回到了德国,但令他失望的是,德国学术界对他的计划持否定态度,并不愿为他的程序拨出计算时间[2]:28。
在数次访美时,希尔开始与沃夫冈•哈肯合作。哈肯在1948年曾经旁听过希尔提出不可避免集的课程,之后对四色定理产生了持续的兴趣。两人通过信件交流合力作出了很多进展,为最终解决四色问题铺平了道路。1971年,阿佩尔也开始在哈肯的介绍下研究四色问题。然而当时哈肯对解决四色问题的前途感到悲观,因为寻找并验证合适的不可避免可约构形集实在过于复杂,即便借助计算机也需要过多的时间。塔特当时也认为,即便最乐观的估计中,不可避免集也要包含至少8000个构形。然而塔特等人也将希尔的工作介绍到了美国(当时希尔的工作只在德国发表过),并引发了很多人的热情。包括弗兰科•阿莱尔、爱德华•雷尼尔•斯瓦特、弗兰科•R•伯恩哈特等人都开始寻找不可避免集以及检验可约性[2]:34。哈肯和阿佩尔依赖于计算机的工作能力,因此不断改良放电过程。他们将通过放电过程寻找不可避免集的算法和验证可约性结合起来,当某个不可避免集的构形不是C-可约(可约性的一种)或难以被验证为C-可约的时候,就放弃这个不可避免集,以提高效率。两人设定了很多经验性的修正规则,比如设定了三个经验性的“障碍”(三种特定的构形),当某个构形中含有这种障碍就直接认为是不可约的;又比如构形的大小不能超过14-环,等等[3]:193。
定理的证明 [编辑]
1975年,哈肯找到了一种很好的放电过程,但难以化为算法程序。于是两人暂时开始回归纸笔计算。这时候他们得到了当时还是博士学生的约翰•科赫(英语:John Koch)的支持,后者帮助他们提供了可约性验证算法工作上的帮助。1976年3月,他们终于得到了一个由1936个构形组成的不可避免集,对应的放电过程由487条规则构成[17]:26。同时伊利诺伊大学的主电脑也更换成运算速度更高的IBM 360,为计算节省了大量时间。经过电脑1200小时的验证,他们终于在6月得出:1936个构形都是可约构形。这代表着四色定理最终的解决[2]: 这时候他们的几个竞争对手如阿莱尔、斯瓦特等的工作也将近尾声。
1976年6月22日,哈肯和阿佩尔首次在美国数学协会(M.A.A.)于多伦多大学召开的美国数学学会(A.M.S.)夏季会议公布了他们的结果。不久,伊利诺伊大学数学系的邮戳上加上了“四种颜色就够了”(FOUR COLORS SUFFICE)的一句话,以庆祝四色猜想得到解决[18][17]:24。9月,美国数学学会的公告专栏上刊登了两人证明四色定理的消息[19]。
1977年,哈肯和阿佩尔将结果写成名为《任何平面地图都能用四种颜色染色》(Every planar map is four colorable)的论文,分成上下两部分,发表在《伊利诺伊数学杂志》(Illinois Journal of Mathematics)上[20][21]。



引用 fsz 2013-6-1 00:40
yannanchen 发表于 2013-6-1 00:04
比较
1.        THE image of the mathematician, in so far as people have one, has not changed for quite a wh ...

能否用英文详细描述一下 in so far as people have one,这个句子的完全含义吗?
对 in so far as 这个短语的用法一直糊涂。谢谢了
引用 fsz 2013-6-1 00:42
yannanchen 发表于 2013-6-1 00:31
It was a matter of constantly creating new configurations
Configuration 构形。

这个已经加了注释了。
引用 yannanchen 2013-6-1 01:28
fsz 发表于 2013-6-1 00:40
能否用英文详细描述一下 in so far as people have one,这个句子的完全含义吗?
对 in so far as 这个短 ...

我试试, 发掘其中的意思。in so far as people have one



Most people hardly have any image of the mathematician, due to his preference for seclusion or absence of public interest in his abstruse theory. However, if we could say there is at least one image of the mathematician, that image is that of Pythagoras or Newton.
引用 yannanchen 2013-6-1 05:45
progress was glacial

进展缓慢, 好像冰川的移动
引用 yannanchen 2013-6-1 05:50
whether a heap of tangled rope could be untangled or had to be cut,
一堆千缠百绕的绳子能不能解得开, 抑或需要求助刀剪斩乱。
引用 yannanchen 2013-6-1 05:56
and any mathematician would say, ‘No, no, no…you have got to do it that way’, but the computer wasn't doing that.” It was all the more successful, he said, because it was thinking “not like a mathematician”.当数学家说‘不,不,不……你必须那样去做’时,计算机正在那样工作着。”他说,由于计算机在思考问题时“不像一个数学家”,因此成功的几率更大。

当数学家说‘不对,不对,不对……你必须得那样做’时,计算机却偏偏不那样做。”他说,计算机“不像数学家”那样思考问题,却正因如此,才有更大的成功。

引用 fsz 2013-6-1 19:11
yannanchen 发表于 2013-6-1 05:45
progress was glacial

进展缓慢, 好像冰川的移动

冰山理论:浮在海面的部分只占整个冰山体积的一小部分,冰山的大部分隐藏在水下。
我的理解:以前的证明只停留在表面,以为证明四色原理只是一个很容易的问题;并没有想到,证明这个问题需要大量的、单凭人类智力无法完成的运算。所以,阿佩尔在证明过程中引入计算机才是一种突破。
引用 fsz 2013-6-1 22:03
yannanchen 发表于 2013-6-1 00:04
比较
1.        THE image of the mathematician, in so far as people have one, has not changed for quite a wh ...

这样转换不知是不是能够完全表达原意:人们心目中仅有的数学家形象已经很久没有改变了。
引用 shadoweing 2013-6-11 14:03
people have one ,是不是说人们对数学家感到特别呢?感觉到他的过人之处?

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